多项式的系数，比较分子多项式的系数
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作者：Kevin Hartnett
翻译：xux
审校：阎清晖
孪生质数猜想是数学界最重要也是最困难的问题之一。最近，两位数学家解决了这个问题的有限域版本，为这一著名猜想的最终证明提供了思路。
作为最著名的数学难题之一，孪生质数猜想已经困扰了数学家一个多世纪。如果能够解决这一难题，人们将揭露算术学（arithmetic）的某些最深层的性质。9月7日，两位数学家贴出了一份有关这一猜想的证明，为孪生质数猜想开辟了新的前沿阵地。
“很长一段时间内，我们都在这一问题上一筹莫展，步履难行。任何新见解的出现都会令人激动不已。”牛津大学的数学家詹姆斯·梅纳德（James Maynard）如是说。
孪生质数猜想说的是什么？我们把一对彼此相差2的质数叫做孪生质数，比如5和7，17和19等等。孪生质数猜想预测，在所有的自然数或整数中，这样的质数有无数对。在过去十年中，数学家们在这一问题上做出了突破性的进展，但是还远没到解决它的程度。
哥伦比亚大学的威尔·萨温（Will Sawin）和威斯康辛大学麦迪逊分校的马克·舒斯特曼（Mark Shusterman）给出了一份新证明。他们在一个更小但依然十分重要的数学世界——有限域系统（finite field system）中证明了孪生质数猜想是正确的。在这样的系统下，人们可以只处理少量的数字。
麻雀虽小，五脏俱全。有限域系统仍保留着整数域的许多性质。数学家们尝试在有限域中回答算术学的问题，并期望将这些结果应用到整数中去。“说起来可能有些天真：我们的最终梦想是，如果对有限域的世界理解得足够好，你就能解释整数世界。”梅纳德说。
在有限域系统中，除了证明孪生质数猜想，萨温和舒斯特曼还得到了一个效力更广的结果。他们证明了在短间隔中，孪生质数究竟多久出现一次。这一结果对孪生质数现象可谓是掌握到了极度精确的地步。数学家们做梦都想在普通的数字上得到这样的结论，所以，凡是相关的证明，他们都会找来细细研究，以期得到新思路，新启发。
新型质数
最著名的孪生质数猜想说的是，有无数对彼此相差2的质数。但是一个更加广义的命题预测，质数对的差距可以是任意常数，比如，你可以在自然数中找到无数对像3和7一样相差4的质数，或者像293和307一样相差14的质数。
这个更加广义的命题是法国数学家阿尔方斯·德·波林那克（Alphonse de Polignac） 在1849年提出的。在接下来的160年中，数学家们进展甚微。但是到了2013年，堡垒被攻破了，或者至少出现了显著的裂痕。那年张益唐证明了有无数对间隔不超过7000 0000的孪生质数。在接下来的一年中，其他数学家，包括梅纳德和陶哲轩，显著缩小了这一质数间隔。目前，已经被证明的孪生质数猜想，其间隔已经缩小至246。
但是，孪生质数问题的进展就此停滞了，数学家明白，如果要彻底解决这一问题，他们需要一个全新的思路。而有限域系统就是一个寻找新思路的好地方。
为了构建一个有限域，可以先从自然数中提取一个有限的子集，可以选取头五个（或者任意质数个）数字。我们用表盘（而不是通常使用的数轴）来将这些数字直观地表示出来。
直觉会告诉你，运算沿着顺时针方向进行。在有限域系统中，4+3是多少？我们可以从4开始，沿着表面数三个格子，到达2的位置。减法、乘法和除法的工作原理也是相似的。
图注：有限数字系统。一个有限域含有有限个元素。（通常是质数个）左图展示了5个元素的有限域，右图是在此有限域中的加法运算过程。
只有一个陷阱。典型的质数概念在有限域系统里似乎讲不通。在有限域中，每个数字都可以被其它数整除。例如，7通常不能被3整除，但在一个有5个元素的有限域中却是可以的。那是因为，在这个有限域中，7和12是同一个数字，它们都降落在钟面上2的位置。所以7除以3等于12除以3，12除以3等于4。
有限域中不存在质数，那么，在有限域中我们用质数多项式来类比整数域中的质数。有限域中的孪生质数猜想讨论的，是像x^2+1这样的数学表达式。
质数多项式是什么？对于一个只包含1，2，3的有限域，这个有限域内的多项式的系数只能从1，2，3中选取。而“质数”多项式就是不能被因式分解的多项式。所以x^2+x+2是质数多项式，因为它不能被分解，但x^2-1不是质数多项式，它是x+1和x-1的乘积。
接下来，你自然会问到孪生质数多项式：一对多项式，它们既是质数多项式，又隔着一个固定的间隙。例如，多项式x^2+x+2是质数多项式，x^2+2x+2也是质数多项式。两者相差多项式x（第一个多项式加x就得到第二个）。
有限域的孪生质数猜想推测，有限域中存在着无数多对孪生质数多项式，它们不一定相距x，可以相距任意间隔。
图注：素数多项式是什么？一个素数多项式只有一个素数因子式——它自己。如上图：x^2+x+2具有素数性质，因为它不能被因式分解；x^2-1不具有素数性质，它是x+1和x-1的乘积。
庖丁解牛
有限域和质数多项式看起来可能太不自然了，人为设计的痕迹明显，在研究一般数字方面用处不大。但它们很像飓风模拟器——一个自给自足的独立宇宙，能够对更广阔世界中的现象提供洞见。
舒斯特曼说：“把整数问题和多项式问题相互转化，这一做法自古就有。虽然转化来转化去，问题可能依然困难，但多项式版本的问题更可解了。”
20世纪40年代，安德烈·威尔（André Weil）将有限域系统中的算术学，准确地应用到了整数域。于是，有限域突然变得声名显赫起来。威尔利用有限域和整数域的这种联系达到了惊人的效果。他证明了数学中最重要的问题——黎曼猜想——的简化版本，即关于有限域中曲线的问题（也被称作几何黎曼猜想）。这一证明，再加上威尔提出的一系列附加猜想——威尔猜想，让人们确信，在数学世界的探索中，有限域是一片景色绮丽的富饶之地。
威尔最关键的见解是，在有限域的语境中，几何学的技巧是回答关于数字的问题的有力武器。“这就是有限域的特别之处。许多你想解决的问题，可以用几何的方式来重新表述，”舒斯特曼说。
几何和有限域是怎么扯上关系的呢？请将每个多项式想象为空间中的一个点。多项式的系数作为确定多项式所在位置的坐标。回到只含1，2，3三个元素的有限域，多项式2x+3的位置就是二维空间中的点（2,3）。
但即使是最简单的有限域也有无穷多个多项式。因为总可以增大最高次项的指数来把多项式变复杂。在我们的例子中，多项式x^2-3x-1可以用三维空间中的一个点表示。多项式3x^7+2x^6+2x^5-2x^4-3x^3+x^2-2x+3要用八维空间中的一个点表示。
这项新的工作中，就是用几何空间来代表某有限域的所有给定阶数的多项式（比如用一个三维空间来表示由1，2，3构成的有限域的所有最高次项指数不超过3的多项式）。于是问题就变成了：有没有办法分离出所有代表质数多项式的点？
萨温和舒斯特曼的策略是把空间分成两部分。其中一部分中，所有点都对应于具有偶数个因式的多项式；另一部分的所有点都对应于含有奇数个因式的多项式。
图注：素数的几何。为了找到素数多项式，数学家将方程翻译成几何语言。子图1：用多项式的系数作为空间中点的坐标。在这儿，2x+3对应二维球面上的点(2,3)；子图2：在表面上画一条线，这条线将含有偶数个和奇数个因式的多项式分割开来；子图3：运用前人总结出的技巧，将“奇数部分”中只含一个素数因子式的点挑出来。
这已经使问题简单化了。有限域的孪生质数猜想讨论的是质数多项式，也就是只有一个因式的多项式（就像质数本身有一个因子一样）。因为1是奇数，所以偶数个因式的部分就不用考虑了。
诀窍在于分界。对于一个二维空间，比如一个球体的表面，想要将其一分为二，用一条一维的曲线就可以了，就像赤道把地球表面一分为二一样。更高维度的空间总是可以用比它少一个维度的物体来分割。
然而划分多项式空间的低维形状远不及赤道那样简洁优雅。它们是被一个称为莫比乌斯函数的数学公式画出来的：输入一个多项式，如果这个多项式有偶数个质数因式，则输出1，如果多项式有奇数个质数因子式，则输出-1；如果多项式只有一个重复的因子式（就像16可以被分解为2×2×2×2），则输出0。
莫比乌斯函数绘制出的曲线疯狂地扭曲和转动，曲线自身形成了许多交叉点。它们交叉的地方称为奇点。这些奇点特别难以分析，它们对应于具有重复质数因式的多项式。
萨温和舒斯特曼的主要创新在于找到了一种精确的方法，将低维的环分割成更短的线段。这些片段比完整的环更容易研究。
把具有奇数个因式的多项式分好类（这是最难的一步）之后，萨温和舒斯特曼就必须确定这其中哪些是质数，哪些是孪生质数。为此，他们应用了数学家用来研究正则数中质数的几个公式。
关于有限域上质数多项式，萨温和舒斯特曼证明了两个主要结论：
首先，有限域的孪生质数猜想是正确的：有无限多对孪生质数多项式，其间隔可以是你选择的任意表达式。
其次，甚至更必然地，这项工作给出的方法，对于给定阶的多项式，能够精确地算出所有孪生质数多项式的个数。对于整数域来说，这类似于知道在数轴上任意长的间隔内，究竟有多少孪生质数。这是数学家梦寐以求的结果。
特拉维夫大学的泽夫·鲁德尼克（Zeev Rudnick）说：“这是第一个给出整数上的定量模拟结果的工作，这是一个非常突出的发现。已经很久没有出现过这样的突破了。”
萨温和舒斯特曼的证明表明，在安德烈·威尔用有限域上的曲线证明黎曼猜想近80年后，数学家们仍然在他开辟的这条路上积极地探索。致力于攻克孪生质数猜想这一难题的数学家们，现在将转向萨温和舒斯特曼的工作，并期望它将成为一个同样深邃的灵感源泉。
原文链接：https://www.quantamagazine.org/big-question-about-primes-proved-in-small-number-systems-20190926/
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编辑：aki
