向量组的线性相关性总结（向量组的线性相关性及其应用）
大家好，关于向量组的线性相关性总结很多朋友都还不太明白，不过没关系，因为今天小编就来为大家分享关于向量组的线性相关性及其应用的知识点，相信应该可以解决大家的一些困惑和问题，如果碰巧可以解决您的问题，还望关注下本站哦，希望对各位有所帮助！
1向量组线性相关的三条性质
两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。n+1个n维向量总是线性相关。【个数大于维数必相关】。解的性质：Ax = 0 （2）。Ax = b （5）。
对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。 向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关； 若a≠0， 则说A线性无关。 包含零向量的任何向量组是线性相关的。 含有相同向量的向量组必线性相关。
线性无关和线性相关 对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关； 若a≠0， 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。
三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。（5）n+1个n维向量总是线性相关。由定义可知，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的。
一个向量组可以由另外几个向量表示且表示法不唯一的条件是另外几个向量组是线性相关的，因为几个向量组线性相关，则有多余的向量，那么表示一个向量组的时候表示法就不唯一。
2向量线性相关的条件是什么?
向量a1，a2，……，an（n≧2）线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余（n-1）个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
线性相关的充要条件是：向量组中至少存在一个向量可由其他向量线性表示。证明：必要性：假设向量组α1，α2，…，αm线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0。
线性相关的充要条件：对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关；若a≠0，则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。
向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关；若a≠0，则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。
3如何判断两个向量组线性相关呢?
若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。通过向量组的正交性研究向量组的相关性。当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。
计算矩阵的秩，如果矩阵的秩等于向量的个数，则表示向量组线性无关；如果矩阵的秩小于向量的个数，则表示向量组线性相关。
方法一：基于定义法。首先对B进行列分块得到向量组，这样就有了分析对象。B=（β1，β2，...，βn）B=（β1，β2，...，βn），作βx→=0βx→=0，如果证得x只有零解则问题可解。
坐标表示：对于二维向量组，可以通过观察其构成的平行四边形的有向面积来判断其是否线性相关。如果对于任意两个向量，其构成的平行四边形的有向面积都不为零，则这个二维向量组是线性无关的。
判断向量组线性相关性的方法：写成矩阵形式，然后通过行变换，化为行最简形，得到矩阵的秩；得出矩阵的秩，用来和向量个数比较；因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数，所以得出。
判断多个向量是否线性相关，主要看由向量组a，b，c组成的行列式|a，b，c|的值，如果值等于0就是线性相关，不等于0就是线性无关。
4向量组的线性相关性。
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
向量组线性相关的定义来源于对向量组线性无关的取反，而向量组线性无关的定义是向量组中没有向量可以用其它有限个向量线性组合表示，则成为无关。因此在向量组中并不要求任何两个向量之间都线性相关。
向量组的线性相关性是：向量组B=（β1，β2，……，βm）能由向量组A=（α1，α2，……，αm）线性表示的充要条件是矩阵A=（α1，α2，……，αm）的秩等于矩阵（α1，α2，……，αm，B）的秩。
设a1，a2，...an都为n维向量，若存在一组不全为零的数k1，k2，...kn，使 k1a1+k2a2+...+knan=0；则称向量组a1，a2，...an线性相关；否则称向量组线性无关。
判断向量组线性相关性的方法：写成矩阵形式，然后通过行变换，化为行最简形，得到矩阵的秩；得出矩阵的秩，用来和向量个数比较；因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数，所以得出。
5向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是：向量组B=（β1，β2，……，βm）能由向量组A=（α1，α2，……，αm）线性表示的充要条件是矩阵A=（α1，α2，……，αm）的秩等于矩阵（α1，α2，……，αm，B）的秩。
判断向量组线性相关性的方法：写成矩阵形式，然后通过行变换，化为行最简形，得到矩阵的秩；得出矩阵的秩，用来和向量个数比较；因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数，所以得出。
先把向量组的各列向量拼成一个矩阵，并施行初等行变换变成行阶梯矩阵，若矩阵A秩小于向量个数m，则向量组线性相关；对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。
判断向量组线性相关的方法有： 行列式判别法、向量线性表示法、齐次线性方程组法、秩的判定法。行列式判别法：将向量组的向量按列排成矩阵，计算该矩阵的行列式。
6什么是向量组的线性相关性?
包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。（注意，原本的向量组是线性相关的）。
向量组线性相关的定义来源于对向量组线性无关的取反，而向量组线性无关的定义是向量组中没有向量可以用其它有限个向量线性组合表示，则成为无关。因此在向量组中并不要求任何两个向量之间都线性相关。
向量组的线性相关性是：向量组B=（β1，β2，……，βm）能由向量组A=（α1，α2，……，αm）线性表示的充要条件是矩阵A=（α1，α2，……，αm）的秩等于矩阵（α1，α2，……，αm，B）的秩。
线性相关的判定： 定理向量组a1，a2…，an当m2时）线性相关的充分必要条件是a1，α…，an中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示。
要证明一组向量是线性相关的，我们可以使用以下定义和性质：定义：如果存在一组不全为零的实数，使得这组实数与向量的乘积之和等于零，则称这组向量是线性相关的。
这样来讲的话，包含n+1个向量的线性相关组，期中的这n+1个向量处于n维空间的这种情况反而是特殊情况。向量组线性相关的几何意义 两个2维向量a，b构成的向量组的几何意义是： a，b共线。
向量组的线性相关性总结的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于向量组的线性相关性及其应用、向量组的线性相关性总结的信息别忘了在本站进行查找哦。
