轨道方程（圆的轨道方程）
飞船以第二宇宙速度沿水平方向飞出，能摆脱地球的引力束缚吗？空间站受到扰动会不会掉下来？3月20日12时，《张朝阳的物理课》第三十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从物体在万有引力下的运动轨迹方程出发，通过数学推导对这两个问题作了详细解答。
复习万有引力下的卫星轨迹 计算椭圆轨道时的极值距离
直播开始，张朝阳先带网友复习了物体在万有引力下的轨迹方程是怎样导出的。他在白板上写出了上次课程得到的物体在万有引力作用下的径向运动方程和角向运动方程：
其中的右上角撇号表示对时间的导数。他再次解释了r^2θ’ 是一个常数，相当于说，行星绕着恒星旋转时，行星连接恒星的线段在单位时间内扫过的面积是一个常数，这也就是开普勒第二定律。在课程直播里，张朝阳用a来表示r^2θ’ 这个常数，也就是a= r^2θ’，或者 θ’=a/r^2。把此式代入径向方程，替代其中的θ’可得：
张朝阳继续着对轨道方程的推导。他说，既然是求轨道方程，那么我们就不会关心r作为时间t的函数。在极坐标上，曲线方程一般由r=r(θ) 给出，因此我们应该关心r作为 θ 的函数。于是他将式子中的对时间二次导数化成了对角度的导数：
张朝阳提示大家，从这个式子以及前面的径向方程来看，都存在很多1/r，那么如果做一个y=1/r的代换，会不会让方程变得简单呢？再代换后得到：
等式右边刚好等于上一个式子方括号里边的部分。借助这一个“巧合”，可以得到了一个简洁的方程：
其中y=1/r。张朝阳解释，解方程的时候要观其“面相”，而且这个问题下是向心力在作用，因此使用极坐标，这叫顺势而为。通过求这个方程的通解，可以得到这个物体的运动轨迹在极坐标下的方程:
这个结果表明物体的运动轨迹只能是椭圆、抛物线或者双曲线。当轨迹是椭圆时，如果A>0，那么这个轨迹的远地点就是轨迹上 θ=π 的点，远地点距离是1/(B-A)；这个轨迹的近地点是轨迹上 θ=0的点，近地点距离是1/(A+B)。
在带着网友们完整地复习了上一次直播内容后，他以卫星绕地球作圆周运动为例来说明如何运用这个轨道方程。在圆周运动下，半径为常数，不随角度变化，因此A=0，r=1/B=a^2/GM。将a= r^2θ’=vr代入并且移项，于是有:
张朝阳解释，这个式子两边乘上卫星的质量m后，左边就是卫星的加速度乘以质量，右边就是卫星受到的引力，这就是普通的牛顿第二定律。这也从侧面表明了推导出来的轨道方程是正确的。
飞船以第二宇宙速度切向飞出 可逃离地球引力飞至无穷远处
从上期直播课的计算可以得知，当飞船沿径向以第二宇宙速度飞离地球，是可以脱离地球的引力束缚去到无穷远处的。此前，张朝阳也向直播间的网友们提了一个问题，如果飞船以第二宇宙速度沿切向飞出呢？他说，目前我们求得了轨道方程，那么关于轨道的一切问题我们都可以解答，“现在让我们来回答这个问题。”
张朝阳指出，当飞船在离地心距离为r0的位置以第二宇宙速度沿切向飞出，那么有r0 v2=a，v2在这里表示第二宇宙速度，它满足:
将v2用a/r0代换后，可以得到:
移项就得到:
也就是r0=1/(2B)。同时，根据轨道方程 θ=0的初始位置条件有r0=1/(A+B)。结合这两个式子，可知 A=B，接着对轨道方程作如下推导：
张朝阳对这个式子作了进一步解释，初始位置是 θ=0处，带进去就得到r=r0。当θ越来越接近 π ，由于cos(π)=-1，飞船距离地心的距离r将会趋向于无穷大。因此飞船飞到了无穷远处。也就是说，飞船逃逸出了地球的引力束缚。张朝阳还说到，这时候的轨迹是一条抛物线。
(张朝阳对飞船以第二宇宙速度水平飞出的情况进行讨论)
此外，他还对这个问题作了拓展，假如飞船是斜向上飞出，这时候可以把飞船的轨迹作一下反向延伸，根据能量守恒，在轨迹的近地点处，依然有mv^2/2=GMm/r，也就是在近地点处的速度就是相应位置的第二宇宙速度。
张朝阳解释，第二宇宙速度是一个和距离有关的量。在轨迹的近地点处以相应位置的第二宇宙速度飞出就相当于水平以第二宇宙速度飞出，因此飞船是可以逃逸出地球的引力束缚而来到无穷远处的。对于飞船是斜向下飞出的情况也类似，只不过因为地球是有大小的，飞船有可能会撞上地球。如果没有撞上，它还是可以逃出地球去到无穷远处。
(张朝阳对第二宇宙速度的问题作了拓展)
空间站在碰撞后轨迹会变成椭圆 速度改变量很小时新轨道变化不大
关于空间站受到扰动会不会掉下来的问题，张朝阳采取简化问题突出重点的策略，假设了空间站一开始做的是圆周运动，速度为v0，半径为r0。然后在某时刻，空间站碰到一些什么碎片，或者受到太阳风的影响，空间站的速度变成了v0+Δv，速度方向不变。
根据推导出来的轨迹方程，知道空间站在碰撞后轨迹会变成椭圆。因此需要计算出这个椭圆的参数，看看和原来的轨迹相比变化大不大。在原来的圆周运动下，A0=0，r0=1/B0。在碰撞后，空间站有了新的轨迹：
张朝阳介绍，因为扰动的瞬间，空间站的位置并没有变化，因此新的轨迹和旧的轨迹必然有重合点。又因为扰动没有改变速度方向，因此这个重合点必然在新轨迹的近地点或者远地点处。因此有
在这里，A可以大于0，也可以小于0。大于零就表明此处是近地点，小于零就表明此处是远地点。
他接着写下了速度在极坐标基矢下的展开式：
借助勾股定理并且代入 θ’=a/r^2，得到:
假如此时飞船受到了微扰，那么速度大小v改变了，同时a也改变了，但是半径不变。于是，通过对上式进行微分，有:
由于假设改变的只是速度大小而非方向，再加上原来的速度方向是沿着地球切向的，因此上式右边第一项为0，如此可得到:
根据B=GM/a^2，也就是Ba^2=GM是个常数，有:
结合前面倒数第二个式子，可以得到:
又因为r0=1/B0=1/(A+B)，也就是A+B=B0，所以:
于是得到：
将这个结果代回轨迹方程，最终得到:
这就是扰动后的轨道方程。张朝阳还做了进一步的解释，当 Δv大于零时，扰动位置将成为新轨道的近地点；当 Δv小于零时，扰动位置将成为新轨道的远地点。并且，当速度的改变量很小时，新轨道相比于原来的轨道只改变了一点点，因此空间站并不会掉下来。
(张朝阳介绍扰动后轨道的变化情况)
截至目前，《张朝阳的物理课》已直播三十余期。从去年11月开启第一节物理直播课，他先是从经典物理学开始，科普了牛顿运动定律与能量动量守恒原理等；接着从经典物理的“两朵乌云”说起，向近现代物理过渡，探讨了黑体辐射、光电效应等问题。而后在量子力学上从薛定谔方程出发，陆续推导介绍了无限深势阱、氢原子波函数，及谐振子量子化等更加具体实用的案例。内容丰富、覆盖广泛，理论公式由浅入深、繁简交融。
从此前的物理直播课可以看出，《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜：注重推导，通过一步一步详尽的数学计算，推导出相关的物理公式，把每个公式从头到尾拆解得十分清晰。据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放。
